Chin (2019) Central limit theorems via Stein’s method for randomized experiments under interference, arXiv.

Setup

Treatment vector: $\mathbf{W} = (W_1, \ldots, W_n) \in \{0, 1\}^n$ .
Potential outcome: $Y_i(\mathbf{w}) = Y_i(w_i, \mathbf{w}_{-i})$ for every individual $i$ . $\mathbf{w}$ を所与として $Y_i(\mathbf{w})$ は非確率的 (fixed) とする． $\mathbf{W}$ のみ確率変数．
以下を定義： $Y_i^{(w)} = Y_i^{(w)}(\mathbf{W}_{-i}) = Y_i(w, \mathbf{W}_{-i})$ for $w \in \{0,1\}$ . No-interference の仮定が正しければ， $Y_i^{(w)}$ は固定値になる．
Observed outcome: $Y_i = Y_i(\mathbf{W}) = W_i Y_i^{(1)} + (1 - W_i) Y_i^{(0)}$
Causal parameters:

Assignment-conditional average treatment effect (ACATE):

$\displaystyle \tau_{ACATE}(\mathbf{W}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left[ Y_i(1, \mathbf{W}_{-i}) - Y_i(0, \mathbf{W}_{-i}) \right]$

Expected average treatment effect (EATE):

$\displaystyle \tau = \mathbb{E}\left[ \tau_{ACATE}(\mathbf{W}) \right] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E} \left[ Y_i^{(1)} - Y_i^{(0)} \right]$

EATEの解釈：indirect effectをmarginalizeしたdirect effectの期待値．
$\tau$ の推定方法として以下の $\tilde \tau$ を考える：

(Horvits-Thompson estimator)

$\displaystyle \tilde \tau = \sum_{i=1}^n \left[ \frac{W_i Y_i}{n \Pr(W_i = 1) } - \frac{(1 - W_i)Y_i}{n \Pr(W_i = 0) } \right] =: \sum_{i=1}^n Z_i$

Asymptoticsの取り方はSavjeなどと同様．各 $n$ で独立した有限母集団が存在するとして，randomnessは全て $\mathbf{W}$ によるもの = Design-based uncertainty.

A dependency graph central limit theorem

定義：Dependency Graph

$D$ は $\{X_i\}_{i=1}^n$ の dependency graph.

$\iff$ 任意のNodeの集合 $A, B \subset \{1, \ldots, n\}$ such that $A \cap B = \emptyset$ & $A$ と $B$ はdisconnected in $D$ について， $\{X_i\}_{i \in A}$ と $\{X_i\}_{i \in B}$ は独立．

Dependency graphを用いる方法は結構昔からある (see, e.g., Baldi and Rinott (1989) AoP)
Dependency graphはsocial networkとは別物． $D = (\mathbf{1}\{i \not\perp j\})_{i,j}$ と書ける．Social networkがsparseでも $D$ はdense，ということもあり得る (e.g., contagion process)．