Savje (2019) Causal inference with misspecified exposure mappings, Working paper.

Setup

Treatments: $\mathbf{z} = (z_1, \ldots, z_n) \in \Omega$ . ここでは $\Omega = \{0,1\}^n$ に限らず一般的なトリートメントを考える．
Potential outcome: $y_i: \Omega \to \mathbb{R}$ . $y_i(\mathbf{z})$ is the response of $i$ when $\mathbf{Z} = \mathbf{z}$
確率変数 $\mathbf{Z}$ の分布を"design"と呼ぶ． $\mathbf{Z}$ のみを確率変数としてそれ以外は固定する = Design-based uncertainty*1．

Exposure

Exposure mapping: $d_i: \Omega \to \Delta$ where $\Delta \subseteq \mathbb{N}$ . もし $d_i(\mathbf{z}) = d_i(\mathbf{z}')$ ならば $i$ にとって $\mathbf{z}$ と $\mathbf{z}'$ は"似たような"因果効果をもたらす．
Realized exposure: $D_i = d_i(\mathbf{Z})$ ．ここで $\pi_i(d) = \Pr(D_i = d)$ とおく． $\pi_i(d)$ > 0 を仮定．
Exposure mappingの特定化が正しい $\iff$ $(d_i(\mathbf{z}) = d_i(\mathbf{z}') \Rightarrow y_i(\mathbf{z}) = y_i(\mathbf{z}'))$ *2．したがって，この場合は $\tilde y_i(d_i(\mathbf{z})) = y_i(\mathbf{z})$ を満たす $\tilde y_i : \Delta \to \mathbb{R}$ が存在する．

Exposure effects under misspecification

もしexposure mappingが誤っているならば上のような $\tilde y_i(\cdot)$ は存在しない．
ここで以下の $y_i'(d)$ を考える：

$y_i'(d) = \mathbb{E}[y_i(\mathbf{Z}) \mid D_i = d$ ]

この $y_i'(\cdot)$ は本質的に $\tilde y_i(\cdot)$ と同様に解釈できる． $\because$ 特定化が正しいならば， $D_i = d_i(\mathbf{z})$ $\iff$ $d_i(\mathbf{Z}) = d_i(\mathbf{z})$ $\iff$ $y_i(\mathbf{Z}) = y_i(\mathbf{z}) = \tilde y_i(d_i(\mathbf{z}))$ .
$y_i'(d)$ はすべてのpotential outcomeの加重平均になっている．各 $\mathbf{z}$ に関するpotential outcomeの重みは $\Pr(\mathbf{Z} = \mathbf{z} \mid D_i = d)$ , as in Leung (2020).

定義：Misspecification-robust exposure effect

$\displaystyle \tau(a, b) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(y'_i(a) - y'_i(b)\right)$ for $a,b \in \Delta$ .

定義：Specification error

$\epsilon_i = Y_i - y'_i(D_i)$ where $Y_i = y_i(\mathbf{Z})$ (observed outcome)

特定化が正しいと仮定することは $\epsilon_i = 0$ を仮定することに等しい．
さらに以下を定義する：

$y'_{ij}(d,q) = \mathbb{E}\left[ y_i(\mathbf{Z}) \mid D_i = d, D_j = q\right]$

$e_{ij}(d,q) = y'_{ij}(d,q) - y'_i(d)$

$u_{ij} = Y_i - y'_{ij}(D_i, D_j)$

これらの解釈については論文Sec. 3.5参照．

Point estimation

Horvitz-Thompson estimator:

$\displaystyle \hat \tau(a,b) = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n \frac{\mathbf{1}\{D_i = a\}Y_i}{\pi_i(a)} - \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n \frac{\mathbf{1}\{D_i = b\}Y_i}{\pi_i(b)}$

Proposition 1: $\mathbb{E}(\hat \tau(a,b)) = \tau(a,b)$
Asymptotic regime:

$\ldots$ considers a sequence of fixed samples indexed by $n$ . $\ldots$ The regime differs from the conventional setup in that the sample is fixed and no population exists in the usual sense. $\ldots$ A consequence is that the samples need not be related in any specific way, and no assumptions about iid sampling $\ldots$ are needed.

つまり，サイズ $n$ の固定されたサンプルがそれぞれ存在すると考える．したがって，各サンプル間に特に関係性はないし，通常の意味での母集団も存在しない.

Proposition 3 (Consistency):

$\displaystyle \hat \tau(a,b) - \tau(a,b) = O_P\left( n^{-1/2} + C_a^{1/2} + C_b^{1/2} + E_a^{1/2} + E_b^{1/2} + U_a^{1/2} + U_b^{1/2} \right)$

where

$\displaystyle C_d = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j \neq i}|Cov(\mathbf{1}\{D_i = d\}, \mathbf{1}\{D_j = d\})|$

$\displaystyle E_d = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j \neq i}e_{ij}(d,d)e_{ji}(d,d)$

$\displaystyle U_d = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j \neq i}Cov(u_{ij}, u_{ji} \mid D_i = D_j = d)$

直感的には， $i$ と $j$ の距離（path length）が離れるほど独立に近づくのであれば $C_d, \; E_d, \; U_d$ は小さくなりそう $\Longrightarrow$ Leung (2020)
極限分布の特徴づけは明示的には行われていない（少なくともこのバージョンでは）
Hajek推定量やDR(-like)推定量も考察している．いずれもHorvitz-Thompsonと同様の結果．

*1:Leung (2020) と同様．

*2:Aronow and Samii (2017) AoASはこれを"properly specified exposure mappings"と呼んでいる