Imai, Jiang & Malani (2020) Causal inference with interference and noncompliance in two-stage randomized experiments, JASA.

Two-stage randomized experiments

$N$ units with $J$ clusters. $n_j$ = 各クラスターのサイズ ( $N = \sum_{j=1}^J n_j$ ).
First-stage: クラスターを2つのグループにランダムに分ける．一方のグループはトリートメントの割合が高く，もう一方のグループはコントロールの割合が高い．グループ $j$ のタイプ = $A_j \in \{0, 1\}$ . $A_j = 1$ ( $A_j = 0$ ) $\Rightarrow$ high (low) proportion of treatment units.
$J_1 = \sum_{j = 1}^J A_j$ , $J_0 = J - J_1$ . さらに $\mathbf{A} = (A_1, \ldots, A_J)$ とおく．
Second-stage: 各クラスター内で個人にトリートメントを一旦割り振る．Binary treatment for $i$ in cluster $j$ = $Z_{ij}$ . $\mathbf{Z}_j = (Z_{1j}, \ldots , Z_{n_j j})$ .
$n_{j1} = \sum_{i = 1}^{n_j} Z_{ij}$ , $n_{j0} = n_j - n_{j1}$ .

Assumption (Two-stage randomization)

1. $\displaystyle \Pr(\mathbf{A} = \mathbf{a}) = \frac{1}{\binom{J}{J_1}}$ for all $\mathbf{a}$ suth that $\sum_{j =1}^J a_j = J_1$ .

2. $\displaystyle \Pr(\mathbf{Z}_j = \mathbf{z} \mid A_j = a) = \frac{1}{\binom{n_j}{n_{ja}}}$ for all $\mathbf{z}$ suth that $\sum_{i=1}^{n_j} z_j = n_{ja}$ *1.

この論文でも，有限母集団＋固定potential outcome＋ランダムネスはトリートメントのみ，という設定を採用．
トリートメントのnon-complianceを明示的に考慮する．
実際のトリートメントを $D_{ij}$ ，観測されるoutcomeを $Y_{ij}$ とする． $\mathbf{D}_j = (D_{1j}, \ldots, D_{n_j j})$ , $\mathbf{Y}_j = (Y_{1j}, \ldots, Y_{n_j j})$ .
Potential treatment: $D_{ij}(\mathbf{z})$ , potential outcome: $Y_{ij}(\mathbf{z}; \mathbf{d})$ . Potential outcome when $\mathbf{Z}_j = \mathbf{z}$ : $Y_{ij}(\mathbf{z}) = Y_{ij}(\mathbf{z}; D_{ij}(\mathbf{z}))$ .

Assumption (Partial interference)

$Y_{ij}(\mathbf{z}) = Y_{ij}(\mathbf{z}')$ and $D_{ij}(\mathbf{z}) = D_{ij}(\mathbf{z}')$

for all $\mathbf{z}, \mathbf{z}'$ with $\mathbf{z}_j = \mathbf{z}_j'$ .

解釈：他クラスターの影響は受けない．

Intention-to-Treat分析*2

以下を定義する：

$\bar D_{ij}(z, a) = \sum_{\mathbf{z}_{-ij}} D_{ij}(Z_{ij} = z, \mathbf{Z}_{-ij} = \mathbf{z}_{-ij}) \Pr(\mathbf{Z}_{-ij} = \mathbf{z}_{-ij} \mid Z_{ij} = z, A_j = a)$

$\bar Y_{ij}(z, a) = \sum_{\mathbf{z}_{-ij}} Y_{ij}(Z_{ij} = z, \mathbf{Z}_{-ij} = \mathbf{z}_{-ij}) \Pr(\mathbf{Z}_{-ij} = \mathbf{z}_{-ij} \mid Z_{ij} = z, A_j = a)$

Average unit-level direct effect：

$DED_{ij}(a) = \bar D_{ij}(1, a) - \bar D_{ij}(0, a)$

$DEY_{ij}(a) = \bar Y_{ij}(1, a) - \bar Y_{ij}(0, a)$

さらに，

$DED_j(a) = n_j^{-1} \sum_{i = 1}^{n_j} DED_{ij}(a)$ , $DED(a) = N^{-1} \sum_{j = 1}^J n_j DED_j(a)$

$DEY_j(a) = n_j^{-1} \sum_{i = 1}^{n_j} DEY_{ij}(a)$ , $DEY(a) = N^{-1} \sum_{j = 1}^J n_j DEY_j(a)$

Average unit-level spillover effect：

$SED_{ij}(z) = \bar D_{ij}(z, 1) - \bar D_{ij}(z, 0)$

$SEY_{ij}(z) = \bar Y_{ij}(z, 1) - \bar Y_{ij}(z, 0)$

さらに，

$SED_j(z) = n_j^{-1} \sum_{i = 1}^{n_j} SED_{ij}(z)$ , $SED(z) = N^{-1} \sum_{j = 1}^J n_j SED_j(z)$

$SEY_j(z) = n_j^{-1} \sum_{i = 1}^{n_j} SEY_{ij}(z)$ , $SEY(z) = N^{-1} \sum_{j = 1}^J n_j SEY_j(z)$

Estimator：

$\displaystyle \hat D_j(z, a) = \frac{\sum_{i = 1}^{n_j}D_{ij}\mathbf{1}\{Z_{ij} = z\}}{\sum_{i = 1}^{n_j}\mathbf{1}\{Z_{ij} = z\}}$

$\displaystyle \hat D(z, a) = \frac{N^{-1}\sum_{j = 1}^J n_j \hat D_j(z, a) \mathbf{1}\{A_j = a\}}{J^{-1}\sum_{j = 1}^J \mathbf{1}\{A_j = a\}}$

$Y$ についても同様に定義する．さらに，

$\widehat{DED}(a) = \hat D(1, a) - \hat D(0, a)$ , $\widehat{SED}(z) = \hat D(z, 1) - \hat D(z, 0)$

$\widehat{DEY}(a) = \hat Y(1, a) - \hat Y(0, a)$ , $\widehat{SEY}(z) = \hat Y(z, 1) - \hat Y(z, 0)$

Assumptions (Two-stage randomization) + (Partial interference) $\Rightarrow$ これらはunbiased estimator (Theorem 1).

Complier Average Direct Effect

一般的にcomplianceの状況は他者のトリートメントに依存する：

$C_{ij}(\mathbf{z}_{-ij}) = \mathbf{1}\{D_{ij}(1, \mathbf{z}_{-ij}) = 1, D_{ij}(0, \mathbf{z}_{-ij}) = 0\}$

Averaged compliance behavior：

$\bar C_{ij}= \sum_{\mathbf{z}_{-ij}} C_{ij}(\mathbf{z}_{-ij}) \Pr(\mathbf{Z}_{-ij} = \mathbf{z}_{-ij} \mid A_j = a)$ *3

Average unit-level complier direct effect：

$CDY_{ij}(a) = \sum_{\mathbf{z}_{-ij}} \{Y_{ij}(1, \mathbf{z}_{-ij}) - Y_{ij}(0, \mathbf{z}_{-ij})\} C_{ij}(\mathbf{z}_{-ij}) \Pr(\mathbf{Z}_{-ij} = \mathbf{z}_{-ij} \mid A_j = a)$

さらに，

$\displaystyle CADE(a) = \frac{\sum_{j = 1}^J \sum_{i = 1}^{n_j} CDY_{ij}(a) }{\sum_{j = 1}^J \sum_{i = 1}^{n_j} \bar C_{ij}}$

Assumption (Exclusion restriction)

$Y_{ij}(\mathbf{z}_j; \mathbf{d}_j) = Y_{ij}(\mathbf{z}_j', \mathbf{d}_j)$ for any $\mathbf{z}_j, \mathbf{z}_j', \mathbf{d}_j$

(実際に受けるトリートメントのみに結果は依存)

Assumption (Monotonicity)

$D_{ij}(1, \mathbf{z}_{-ij}) \ge D_{ij}(0, \mathbf{z}_{-ij})$ for all $\mathbf{z}_{-ij}$

Assumption (Restricted interference)

If $D_{ij}(1, \mathbf{z}_{-ij}) = D_{ij}(0, \mathbf{z}_{-ij})$ , then $Y_{ij}(\mathbf{D}_j(1, \mathbf{z}_{-ij})) = Y_{ij}(\mathbf{D}_j(0, \mathbf{z}_{-ij}))$ *4

以上の仮定の下で次の結果を得る：

Theorem 2: Assumptions (Two-stage randomization) -- (Restricted interference)

$\Longrightarrow$ $\displaystyle \text{plim}_{n_j, J \to \infty}\frac{\widehat{DEY}(a)}{\widehat{DED}(a)} = \text{lim}_{n_j, J \to \infty} CADE(a)$ .

論文の以降では，stratified interference*5をさらに仮定して分析を進める．

*1:論文の $n_{j1}$ はタイポ？

*2:治療そのもの ( $D$ ) ではなく，治療方針 ( $Z$ ) の効果を見る分析．

*3:論文では $\bar C_{ij}(\mathbf{z}_{-ij})$ となっているが $\mathbf{z}_{-ij}$ はmarginalizeされているのでは． $\bar C_{ij}(a)$ のタイポ？

*4:この仮定の解釈や具体例については論文参照．

*5: $D_{ij}(\mathbf{z}_j) = D_{ij}(\mathbf{z}_j')$ and $Y_{ij}(\mathbf{z}_j) = Y_{ij}(\mathbf{z}_j')$ if $z_{ij} = z_{ij}'$ and $\sum_{i=1}^{n_j} z_{ij} = \sum_{i=1}^{n_j} z_{ij}'$