Lubold, Chandrasekhar & McCormick (2021) Identifying the latent space geometry of network models thorough analysis of curvature, arXiv.

Hoff, Raftery, and Handcock (2002)のlatent space modelでは，あらかじめ次元と距離の定められた潜在空間を基本に，各個人間のconnectionのdpendenceをモデル化している．
この論文では，その潜在空間の幾何構造自体を推定することを考える．
幾何構造の選択がなぜ重要か？

例えば二次元のユークリッド空間を考えると，「お互いの距離が等しい４人グループ」が構成できない．
例えば球面を潜在空間として考えると，二点間の距離の上限があるので，よりネットワークが形成されやすくなる (McCormick and Zheng 2015 JASA)
サプライチェーンで離れた上流と下流のネットワークがは形成されにくい．このような場合は双曲空間（hyperbolic space）が合っているはず．

モデル： $\Pr(G_{ij} = 1 | \nu, z, M^p(\kappa)) = \exp(\nu_i + \nu_j - d_{M^p(\kappa)}(z_i, z_j))$

where

$\nu = (\nu_1, \ldots , \nu_n)$ = individual effects. $\nu_i \sim_{iid} F_\nu$ .
$z_i$ = $i$ の多様体 $M^p(\kappa)$ におけるlocation, $d_{M^p(\kappa)}(z_i, z_j)$ = $z_i$ と $z_j$ の距離
$p$ = 多様体の次元， $\kappa$ = 多様体の曲率．多様体上で曲率は一定だと仮定する．

Killing-Hopf Theorem: 断面曲率（sectionial curvature）*1が一定＝＞ユークリッド面，球面，双曲面のいずれか
点 $m \in M^p$ における接ベクトルの空間を $T_m(M^p)$ とする．
また $g$ を計量テンソル（リーマン多様体を考えているのでリーマン計量） $g_m(u,v) \mapsto \mathbb{R}_{\ge 0}$ ( $u,v \in T_m(M^p)$ ) とする．
断面曲率は以下の式で定義される：

\begin{align}\kappa_m(u,v) = \frac{g_m(R_m(u,v)v, u)}{g_m(u,u)g_m(v,v) - g_m(u,v)^2}\end{align}

このとき， $\kappa_m(u,v)$ は基底 $u,v$ の取り方に依らない．また，断面曲率は一定だと仮定していたので， $\kappa_m(u,v) = \kappa$ としてよい．

$M^p(\kappa) = \{x \in \mathbb{R}^{p+1}, Q(x,x) = \kappa^{-1}\}$ とする．ただし $Q$ は双線型形式（内積の一般化）
このとき， $M^p(\kappa)$ 上の二点 $(x,y)$ の距離は

\begin{align}d_{M^p(\kappa)}(x, y) = \kappa^{-1/2}\cos^{-1}(\kappa Q(x,y))\end{align}

で与えられる．

球面 $\mathbb{S}^p$ ＝＞ $Q(x,y) = \sum_{i=1}^{p+1}x_i y_i$ （標準内積）
双曲面 $\mathbb{H}^p$ ＝＞ $Q(x,y) = -x_0 y_0 + \sum_{i=1}^{p}x_i y_i$
ここで， $z$ の分布関数 $F_z$ のサポートが $K$ 個の異なる点 $Z = (z_1, \ldots, z_k)$ を含むとき，上の式から，距離行列 $D$ が与えられたときに双線型形式を対応させる $K \times K$ 行列

\begin{align}W_\kappa = \frac{1}{\kappa}\cos(\kappa^{1/2} D) \;\; ( = Q(Z,Z))\end{align}

を定義する．

Proposition 1.1

$Z \overset{isom}{\to} \mathbb{R}^p \iff W_0 \text{ is p.s.d.}$
The smallest $p$ s.t. $Z \overset{isom}{\to} \mathbb{R}^p$ is $p = \text{rank}(W_0)$ .

Proposition 1.2

$Z \overset{isom}{\to} \mathbb{S}^p(\kappa) \iff \text{the signature of } W_\kappa \text{ is } (a, n-a, 0)$ for some $a\le p+1$ and some positive $\kappa$ .

$Z \overset{isom}{\to} \mathbb{H}^p(\kappa) \iff \text{the signature of } W_\kappa \text{ is } (1, n-a-1, a)$ for some $a\le p$ and some negative $\kappa$ .

※The signature of $A$ : $(a,b,c)$ , where $a$ = # of positive eigenvalues, $b$ = # of zero eigenvalues, and $c$ = # of negative eigenvalues.

以上の結果から，距離行列を幾何構造と独立に構成できれば，潜在空間をどの空間に埋め込めるかが判明する．＝＞グラフの構造からlink formationの確率を計算し，それを距離として用いる．

単純化のため，個人効果が存在しない場合を考える： $\nu_i = 0 \; \; \forall i$ ．また， $F_z$ のサポートは $Z = (z_1, \ldots, z_K)$ であるとする．
二点 $(z_k, z_{k'})$ 間の距離を $d_{k,k'} = - \log(p_{k,k'})$ で測定する．ただし， $p_{k,k'} = \Pr(\text{nodes at } z_k \text{ and } z_{k'} \text{ connect})$
$z_k$ に属するノードの集合を $V_k$ とすれば， $p_{k,k'}$ は以下のように推定できる：

\begin{align} \hat p _{k,k'} = \frac{1}{|V_k| \cdot |V_{k'}|} \sum_{(i,j) \in V_k \times V_{k'}} G_{ij} \end{align}

ユークリッド面の場合は曲率の推定は不要．球面と双曲面の場合についてのみ曲率を推定する．
ここで，ある $\kappa_0$ について $Z$ が $\mathbb{S}^p(\kappa_0)$ に埋め込み可能だとする．すると，Prop 1.2から， $W_{\kappa_0}$ の最小固有値はゼロ： $\lambda_1(W_{\kappa_0}) = 0$ .
したがって， $\kappa_0$ がユニークならば

\begin{align}\kappa_0 = \arg\min_{\kappa > 0} |\lambda_1(\kappa W_\kappa)|\end{align}

である．

実際には $W_\kappa$ は未知なので， $\hat W_\kappa = \frac{1}{\kappa}\cos(\kappa^{1/2} \hat D)$ で置き換える．
同様に，双曲面の場合はProp 1.2から「上から二番目の固有値がゼロ」であることが条件として得られるので， $|\lambda_{K-1}(\kappa W_\kappa)|$ を最小にすればよい．
曲率推定量の一致性＝＞Proposition 3.1
$\kappa$ が推定出来たら $\hat W_{\hat \kappa}$ のランクから $p$ を推定する．

以下は幾何構造の選択に関する仮説検定や実証分析．

*1:ガウス曲率の多様体版らしい．要確認．

*2:論文p.11参照